সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রায় যথাক্রমে 6 একক , 7 একক এবং 8 একক হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত একক ? 

ব্যাখ্যাঃ

একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমার বর্গের সমষ্টি এবং অতিভুজের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সম্পর্ক বিদ্যমান।

ধরি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও ভূমি যথাক্রমে \(a\) ও \(b\) এবং অতিভুজ \(c\)। এই বাহুগুলির উপর অঙ্কিত মধ্যমাগুলি যথাক্রমে \(m_a, m_b, m_c\)।

একটি সাধারণ ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমার বর্গের সমষ্টি এবং বাহুগুলির বর্গের সমষ্টির মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

\[4(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2) = 3(a^2 + b^2 + c^2)\]

যেহেতু এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ, পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean theorem) অনুযায়ী আমরা জানি:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

এখন, এই সম্পর্কটি মধ্যমা ও বাহুর সাধারণ সূত্রে প্রতিস্থাপন করি:

\[4(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2) = 3( (a^2 + b^2) + c^2 )\] \[4(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2) = 3( c^2 + c^2 )\] \[4(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2) = 3(2c^2)\] \[4(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2) = 6c^2\]

উভয় পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই:

\[m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{6c^2}{4}\] \[m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3c^2}{2}\]

প্রশ্নমতে, সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 একক, 7 একক এবং 8 একক। সুতরাং, তাদের বর্গের সমষ্টি হবে:

\[m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = 6^2 + 7^2 + 8^2\] \[= 36 + 49 + 64\] \[= 149\]

এখন, এই মানটি পূর্বোক্ত সম্পর্কে বসিয়ে আমরা অতিভুজের দৈর্ঘ্য \(c\) নির্ণয় করতে পারি:

\[149 = \frac{3c^2}{2}\]

সমীকরণটি সমাধান করে \(c\) এর মান বের করি:

\[3c^2 = 149 \times 2\] \[3c^2 = 298\] \[c^2 = \frac{298}{3}\] \[c = \sqrt{\frac{298}{3}}\] \[c \approx \sqrt{99.3333}\] \[c \approx 9.9666\]

প্রায় \(9.97\) একক।

সুতরাং, অতিভুজের দৈর্ঘ্য প্রায় \(9.97\) একক।